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高中数学课堂的有效性探索
发布时间: 2012-5-2 16:10:27 被阅览数: 1860 次 来源: 广州市海珠中学

高中数学课堂的有效性探索
---变式教学在组织数学课堂教学中的应用
广州市海珠中学         510315         何秋梅
内容摘要:全面实施素质教育,推进数学教学方法的改革和创新,切实减轻学生的学习负担,是目前数学教学的发展趋势。对于高中数学学科,内容多,时间紧,如何在规定时间内有效完成教学任务,文章分析了通过“变式教学” 提高数学课堂效率几点做法。
关键词:变式教学  课堂有效性  变式教学反思
自新课程改革实施以来,任课教师反映出来很多问题,如“新课程内容多,课时量不够;有些习题太难,学生不会做等问题。”同时也有很多学生抱怨高中数学最难学。追其原因,我认为很大一部分原因是出于我们自身。有时由于课时紧,没有给学生太多的时间去独立思考、实践探究,导致学生没有掌握事物的本质属性,而本质属性“隐蔽”在非本质属性中。因此在教学时,教师就得启发学生一步一步从非本质属性中把本质属性揭露出来,这就必须用到变式,变式是通过变更对象的非本质特征的表现形式,以突出对象的本质特征,让学生在变式中思维,从而掌握事物的本质和规律。著名教育学家顾泠沅先生有一句朴素而富有哲理的名言:“听懂的东西做出来,做出来的东西说出来.”在数学教学中怎样才能完成顾先生所提的“听懂——做出——说出”的过程呢?顾泠沅教授提出了变式过程模式,它永远是实施课堂有效教学的主题。在新课程背景下数学变式问题设计的实践与研究,应是课堂有效教学的策略和方法。本文是我通过“变式教学”提高数学课堂教学有效性的一些具体做法,供同行参考,不对之处请批评指正.
一、在概念教学中运用变式教学能有效地加深对概念的理解及延伸
在概念教学中变式主要包含概念引入变式和概念辨析变式。概念引入变式是指在讲授概念时,将概念还原到客观实际中进行引入,通过变式移植概念的本质属性,使实际现象数学化,达到展示知识形成过程。在概念教学时,可以设计系列问题,增加辅助,探索环节,引导学生从直观想象出发去发现,猜想,然后给出验证或理论证明。概念辨析变式,就是在引进概念后针对概念的内涵与外延设计辨析式问题,通过这些问题的讨论达到明确概念本质,深化概念理解的目的,引导学生多角度,多方位,多层次的探索概念含义,透过现象看本质。概念教学是数学教学的核心和基石。学生在学习曲线与方程时,由于概念比较抽象,学生对概念的理解不完整。针对这一问题,我在概念教学中适当引入变式,有效促进学生对数学概念的建构,使学生迅速抓住概念的本质,同时又引导学生在更高的程度上掌握了概念的内涵与外延。
教学案例1:曲线与方程的概念
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程,这条曲线C叫做这个方程的曲线
变式1:如图所示的直线,其方程是 ,用下列方程加以表示对吗?为什么?

(1)        (2)

(3)         (4)
 
 
 
设计意图:由于概念比较抽象,学生对“曲线与方程的概念”理解比较模糊。通过以上四个方程的比较,学生很轻松的辨析“两者关系”,可见对比促成效。真正抓住概念的本质。
  变式2:已知△ABC的周长为16,C ,求点A 的轨迹方程。
设计意图:在求得轨迹方程后,经验证将轨迹方程中不符合条件的点舍掉,让学生更深刻体会曲线与方程之间对应关系。通过变式使学生原有的感性认识从具体直观上升到一定理论高度,使学生的数学思维更加严密。
二、在命题教学中运用变式教学能有效地进行培养学生的数学素养
命题教学主要是指数学中公理、定理、公式的教学.它不仅是数学概念教学的展开与深化,同时也是数学问题教学的基础,而且是形成数学技能、培养数学能力的重要途径.在数学命题教学中,可以利用变式教学从多方面、多角度去认识,有利于学生深入理解命题,解题思想方法的形成;有利于巩固、深化学过的知识,培养学生严密的数学思维;有利于培养学生的判断能力和逻辑推理能力;有利于激发学生求异精神、创新意识. 在讲解基本不等式时,学生总是忽略基本不等式成立的三个条件,针对这一问题,我设置了变式1,将它们放在一起对比,学生很清晰的认识到它们之间的异同。通过公式的变式题组,学生在短时间内掌握了公式的应用要点,整节课学生对所学内容与练习都保持浓厚的兴趣。
教学案例2:基本不等式
(巩固公式)给出下列命题,其中错误的命题是           .
①y=x+ 的最小值为2.
② 的最小值为2
③y=sinx+ ( )的最小值为2 .
④当x>0时,y=x2+16x 2 ,当x2=16x时,即x=16,y取最小值512.
设计意图:初步使用基本不等式,使学生熟悉公式及应用公式的前提条件(一正二定三相等)
变式1:(1)已知 的最小值
(2)已知 的值域
(3)已知 的最大值
(4)已知 的最大值
(5)已知 求函数 的值域
(6)已知 求函数 的值域
设计意图:以上从条件、函数结构、不等式成立的条件等方面实现了变式,重在考查基本不等式的应用的条件、公式的几种变形形式及不等式与函数的内在联系。(6)学生经常错用基本不等式来求值域,忽视等号成立的条件,进一步引导学生用函数的单调性来求值域,或直接用导数求值域,针对选择填空题,可以直接用双钩函数性质求解。
变式2:(7)已知 ,且 ,求 的最大值
(8)已知 ,求函数 的最大值
(9)若 ,求 的最大值
设计意图:使学生掌握基本不等式的逆向应用,用基本不等式求函数的最大值,其次也希望引导学生除用基本不等式外,也可以转化为二次函数在区间上的最值问题,掌握知识之间的相互联系和转化,体现化归的数学思想。
若学生程度较好的话,可以做如下推广:类比基本不等式的形式,我们一定可以猜想出,对于3个正数 ,可能有:如果 ,那么 ,当且仅当 时等号成立。可以引导学生利用证明不等式的方法来证,在此基础上,可以推广到一般情形,如果 ,那么 ,当且仅当 时等号成立。
通过对基本不等式进行深入探究,不仅使学生对知识的发生和发展过程知其然且知其所以然,而且达到举一反三、触类旁通的效果。如果我们有意识的引导学生进行变式,久而久之,不但启迪开发了学生的思维,更重要的是学生自己学会了变式,学习能力得到了全面提高,俗话说:“授之以鱼不如授之以渔。”变式教学使我们的有效课堂得到了无限的延伸。因此在命题教学中,通过对条件、结构的变式,不但巩固、深化学过的知识,更高要求的培养学生严密的数学思维,激发学生求异精神和创新意识,极大提高数学课堂教学的有效性.
三、在解题教学中运用变式教学能有效地提高学生解决问题的能力
解题教学是学习数学的主要形式,它是以巩固知识、训练基本技能、发展思维为核心,进行的有目的、有实效、有层次的教学模式.在解题教学中,当学生获得某种基本解法后,通过变式教学,改变问题的条件、结论、改变提问形式等多种途径,引导学生从不同方向、不同角度、不同层次去思考问题,使学生思维不局限于原有的模式,强化学生对知识方法的理解、掌握和变通,从而达到了螺旋式再认识,再深化,乃至升华的效果。函数单调性问题是高中数学的重点也是难点,学生花了很多时间、精力在这部分,但成绩依然不是很理想,为了让学生掌握分析问题的角度,我层层深入设计了以下变式题组,多次变换函数结构,从不同结构中寻求不变的本质,学生基本掌握了函数的单调性问题。
教学案例3:函数的单调性问题
例题:求函数 的单调区间
设计意图:利用导数求函数的单调区间是导数部分最基本的题型,重在考查学生的掌握程度
变式1:求函数 的单调区间
分析: ,在定义域里根据判别式情况来确定方程 解的情况,进而确定函数的单调区间.
设计意图:引入参数,对参数进行必要的分类讨论是数学中常用的思想方法,本题有利于对学生知识面的考查,也培养了学生解决问题是思维的谨密性.
变式2:求函数 的单调区间
分析:
、当 时,方程 变为一次方程,单调区间略
、当 时, ,则 恒成立,单调区间略
、当 时, ,则 恒成立,单调区间略
、当 时, ,则 在 有两不等的根 , ,单调区间略
、当 时, ,则 在 有一个根
单调区间略
设计意图:在变式1的基础上,递进式的引出变式2,使分类讨论的思想得到了再一次深化,万变不离其宗。对比上述两变式,让学生自主总结求函数单调区间的方法,尤其在含有参数时的讨论顺序: 方程有没有解;分两种情况有解和无解;若有解,解出方程的解,方程的解在不在函数定义域,需进行思考;若都在定义域,大小有如何?在这种“举步维艰”的情形下,学生们“披荆斩棘”,体验到了数学带给他们的成功和喜悦。
变式3:已知函数 是增函数,求 的取值范围
分析: 令 在 上恒成立,则 ,进而转化成 恒成立,即有 ,以下略
设计意图:函数单调性是函数的重要性质,对函数的单调性我们除了要掌握如何判断单调性外,还应学会反向应用单调性求参数范围,处理该类问题的关键是能够完成转化,把不熟悉的问题转成熟悉的问题,从而使问题得到解决.此题更好培养了学生转化思维以及逆向思考问题的方式.
变式4:已知函数 不是单调函数,求 的取值范围
分析: 根据题可知 不恒大于0,所以 在 有实数解,且无重根,由 ,得 ,继续转化为求函数在 上的值域问题,再利用双钩函数与不等式的性质获解.
 
设计意图:鉴于变式3,部分成绩较好的学生马上提出了以上变式4。可见学生在长期变式熏陶中,真正实现了新课改强调的变“要学生学”为“学生要学”,激发了学生的兴趣。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法,通过对题目中语句的转化,把复杂问题简单化,把抽象问题具体化,把未知问题已知化,强化了学生思维模式,更提高了学生分析及解决问题的能力.
由此看到,在数学教学中,若教师有目的、有意识地引导学生对典型例题进行深入的研究,通过对其进行合理的变形、变式、转化、引申、拓延、综合,深入挖掘其中潜在的数学思想方法,揭示其丰富的内涵,这不仅有利于学生掌握基础知识,而且对于培养学生的应变能力、开拓思路、活跃思维等都是非常有益的,不仅提高了数学课堂教学的时效性和有效性,而且更重要的是与素质教育要求的“培养学生的创新能力”的本质相吻合,实现了新课改强调的变“要学生学”为“学生要学”,激发了学生浓厚的学习的兴趣。
四、“变式教学”之反思
通过近几年“变式教学”,反思数学科组取得的成就,让大家感到很欣慰。这几届学生的数学水平整体提升,多名学生在广州市高二数学竞赛中取得骄人成绩。可见“变式教学”启迪了学生的思维,诱发学生用不同的方法从不同的角度去思考问题,利用“变”来发展学生的创造力,把握变中求不变,以不变应万变,最终使学生既学到了知识,发展了能力,又培养了思维.因此,在教学过程中采用变式教学对我们实现教学目标,提高课堂实效大有帮助.
参考文献
[1]钟敏健.新课程下初中数学教学的有效途径—变式教学[J].中学数学研究,2009(2)
[2]张文海.例谈“题组教学”在数学教学中的功效[J].中学数学研究,2009.(2)